Gyorsulásmentes mozgás-modellek a kételeműek számsíkjain

„„Két mennyiséget elosztani egymással puszta számolás; a matematika azt kitalálni, hogy mit osszunk mivel.”
(Jordan Ellenberg, Ne tévedjünk)

Belefogtam a differenciál- és integrálszámítás fogalmainak tisztázásába a kételemű számokon, természetesen a komplex számok kivételével, hiszen annak analízise egy jól kidolgozott területe a matematikának. Kezdett túl hosszú lenni a kalkulusról szóló cikk, ezért az előzményeit, pontosabban a kételemű számoknak azokat a fontos összefüggéseit –, amelyek megalapozzák analízisüket – jelen írásomban foglalom össze. Az itt szereplő összefüggések egy része már szerepelt korábbi cikkeimben, de most a differenciál- és integrálszámítás kontextusában, annak előkészítésére sorakoztattam fel a matematikai alapokat, kiegészítve újakkal és értelmezésükkel.

A teljes cikk PDF-ben itt található.

A szabadságról és a szabad akaratról ismét

Írtam már a szabadságról és a szabad akaratról egy cikket, de annyi beszélgetést hallgattam mostanában erről a témáról a neten, hogy muszáj írnom róla ismét. Az említett beszélgetések közül csak Bernáth László nevét említem, mert végre egy kortárs magyar filozófus, akivel több dologban értek egyet, mint amiben nem. Írásomban azonban nem is a filozófiai megközelítéseket fogom tárgyalni, hanem a saját világképemet körvonalazom azon az alapon, hogy gondolkodásomban én is szeretném megragadni a lét egészét, így a szabad akarat működését is.

A tejes cikk PDF-ben itt található.

Határérték és folytonosság a kételemű számokon

„Jó ok adható arra, hogy miért nem lehet a valóságot folytonos mezőként ábrázolni. A kvantumjelenségekből látszólag biztosan következik, hogy egy véges energiájú, véges rendszer teljes mértékben leírható véges számok (kvantumszámok) véges halmazával. Úgy tűnik, hogy ez nincs összhangban a kontinuumelmélettel, és ahhoz kell vezetnie, hogy megpróbáljunk egy tisztán algebrai elméletet találni a valóság leírására. De senki sem tudja, hogyan lehet egy ilyen elmélet alapjaihoz hozzájutni.”
(Albert Einstein, A relativitáselmélet értelme).

A matematikai folytonossággal hasonló a probléma, mint a végtelennel; élesen eltér ugyanis a valóságban tapasztalható folytonosság a matematikában definiált fogalomtól. Amint aktuálisan létező mennyiségi végtelent nem tapasztalunk, úgy folytonosságot sem tapasztalhatunk abban az értelemben, amint azt a matematika definiálja, és e kettő ok-okozati kapcsolatban áll egymással.

A régóta ismert komplex számok körében könnyű volt értelmezni a konvergenciát és az analízis szinte minden elemét, hiszen lényegét tekintve ezeknek nem kellett sokban különböznie a valós vektoranalízisben használtaktól, a komplex számok, mint számvektorok értelmezése és abszolútértékük miatt. Ez a „hasonlóság” most még jobban érthető a komplex képzetes végtelen-kapcsolatából, pontosabban az intenzív és az extenzív végtelen hiányát modellező szerepéből, itt a végtelen alatt a kontinuumhipotézisben megfogalmazott végtelent értve.

A teljes anyag PDF-ben itt található.

Koordinátarendszerek és a téridő

“A világmindenség nem lesz kevésbé misztikus, ha tudunk egyet-mást róla. Sokkal csodálatosabb az igazság, mint azt a múltban bármelyik művész megálmodhatta!”
(Richard Feynman)¹

Bár sok és mély matematikai összefüggést tartalmaz a cikk, de sok interpretációra, magyarázatra is kiterjed, amikkel talán azok számára is érthetővé válnak a matematika régi/új szám és végtelen fogalmai, akik ezzel nem foglalkoznak, és felsejlik számukra is a matematikai összefüggések misztikus szépsége.

_____________________________________

¹ Richard Feynman, Mai Fizika I. kötet 45. oldal, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1969

A teljes anyag PDF-ben itt található.

Naplórészlet, 2024. 01. 23.

Házimunka közben hallgattam ma a Mindenségit! podcast legújabb beszélgetését Hangya Balázs agykutatóval¹.

Egyetlen témát emelnék ki a beszélgetésből, épp azt, amire a tudománynak még igazi elméletei sincsenek, tehát a tudatról fogok írni néhány szót.

___________________________

^{1 Hangya Balázs: Agykutatás, agyműködés, tanulás, tudat, érzelmek / Mindenségit!
https://www.youtube.com/watch?v=e7U04VjmfHE} 

A teljes anyag PDF-ben itt található.

Avagy léteznek-e aktuálisan a transzcendens számok?

“A matematikában azt hisszük, hogy végtelenül sok egész számunk van. De például minden olyan elképzelés, amelyik a tetszőlegesen távoli dolgok természetére vonatkozik, a fizikában hamisnak bizonyul. Ezért azt gondolom, hogy a matematikában is az.”
(John Horton Conway)

Ez a cikk egy másik folytatásának indult, de sokkal inkább kiegészítő töprengéseket tartalmaz a korábbi írásommal¹ kapcsolatban. Az alcímben feltett kérdésre pedig sok válasz született, de sok kétely is megfogalmazódott, amióta a helyiértékes számábrázolásban a végtelen tizedestörtek fogalma bekerült a gondolkodásunkba. A Wikipédia egyik szócikkét idézve:

„A végtelen tizedestörtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez.”²

_____________________________________

¹ „A végtelen kicsiben és nagyban I.”;
https://www.infinitemath.hu/archivum/matematika/442-a-vegtelen-kicsiben-es-nagyban-i

² Lásd a „Tizedestört” szócikk utolsó bekezdését; Tizedestört – Wikipédia (wikipedia.org)

A teljes cikket PDF-ben lásd itt.

„Élet ünnepnapok nélkül:
hosszú út vendégfogadó nélkül.
/Démokritosz/

Ma, 2023. október 19-én ünneplem a weboldalam 12. születésnapját.

Tréfából megkértem a Binget egy kis szülinapi versírásra. Először angolul „alkotott”, majd újabb kérésre egy magyar nyelvűt is kaptam. A versekből csak egy-egy versszakot idézek, a rólam szóló szakaszokat elhagytam.

„May this birthday be a special one,
Filled with joy and cheer.
May your site continue to grow,
And bring happiness far and near.”
/Bing/

„Tizenkét éve már, hogy itt vagyunk,
Együtt utazunk az időben.
Weboldalad születésnapján
Szeretettel köszöntünk téged!”
/Bing/

Hozzászólás egy CERN-kísérlethez

„A tapasztalás és az érzékelés előnyben részesítendő a spekulációval szemben, ha az utóbbi még oly jól megalapozott is.” (Galileo Galilei)

Bár az új teszteredmények nyomán a tudósok következtetései ellentétesek azzal, amilyen matematikai modellben én gondolkodom az anyag és antianyag közötti antigravitációról¹, mégis örömmel olvastam a 2023. szeptember 27-én megjelent beszámolókat a Nature-ben² – és ugyanaznap a Scientific American online újságban³ is – egy CERN kísérletről, amelyben antihidrogén atomokkal tesztelték az antianyag viselkedését a Föld gravitációs terében. Azért örültem a teszteknek, mert bármennyire szép egy elmélet, a tapasztalaté a végső szó, a tudást az gyarapítja.

________________________________

¹ Lásd például a következő írásomat: „Csevegés a Binggel az anyag-antianyag közti gravitáció irányáról”;
Csevegés a Binggel az anyag-antianyag közti gravitáció irányáról (infinitemath.hu)

² Lásd Antimatter falls down, not up: CERN experiment confirms theory (nature.com)

³What Happens if You Drop Antimatter? New Gravitational Test Sees First Fall - Scientific American

A teljes anyag itt található PDF-ben, egy szóhibát javítottam 2023. december 3-án.

Gondolatok a sokatmondó és a megtévesztő hasonlóságról

A fizikában – és általában a természettudományokban – a hasonlósági modellek tárgyak vagy folyamatok egyes tulajdonságainak egyezőségét kihasználó módszerek, és hasznosak lehetnek a kevésbé ismert tárgy vagy folyamat jobb megismerésében, feltételezve, hogy a hasonlóságból egyéb nem ismert tulajdonságokra is következtethetünk. Természetesen már maga a felismert hasonlóság is lehet téves, de igaz volta esetén sem biztos, hogy jól következtetünk az egyéb egyezőségekre. Mindezek ellenére a hasonlóságok felismerése az egyik legfontosabb tudományos ismeretszerzési módszer a vele rokon szimmetriák felkutatása mellett.

Most nem a megtévesztő hasonlóságokon töprengek, a sokatmondó hasonlóságok jobban érdekelnek, és közülük is azok, amelyek jól láthatóak egy adott esetben, mégis átsiklik rajtuk a tekintetünk, vagy ha észre is vesszük őket, lényegtelennek, esetleg megtévesztőnek gondoljuk.

A teljes szöveg PDF-ben itt található.

Matematikai varázslat, varázslatos matematika

„A matematika olyan, mint egy csodálatos kert. Tele szebbnél szebb virágokkal, amelyeket, ha gondozunk, csodálatos varázslatok tanúi lehetünk.”
(Péter Rózsa)

Euler óta csodáljuk a róla elnevezett összefüggést:

e^iπ=-1

Szinte misztikusnak tűnik, miképp kapunk két transzcendens szám: e és π, valamint az i képzetes szám közötti műveletből egész számot. Régóta tudjuk – már akit elvarázsolt a matematika – hogy a fenti képlet a -1-nek az exponenciális alakja a komplex számok körében. Paul J. Nahin egy egész könyvet¹ szentelt Euler e mesés formulájának.

________________________________

¹ Dr. Euler’s Fabulous Formula – Cures Mathematical Ills, Paul J. Nahin, Princeton University Press, 2006.

A teljes anyag PDF-ben itt található, 2023. 07. 31-én két apró hiba javítva, és 2023. november 20-án bővítettem egy mondatot az 5. oldalon, hogy érthetőbb legyen.