Matematika

Matematika (11)

Bevezetés
Andrei Khrennikov kontextuális valószínűsége és a kétrés kísérlet

Korábbi írásaimban1 többször hivatkoztam Andrei Khrennikov cikkeire, amelyekben a kvantumfizika valószínűségszámításon alapuló matematikáját taglalva eljut a hiperbolikus valószínűség gondolatához. Ez formailag a komplex számok hiperbolikus számokra való cseréjét jelenti a matematikai modellekben, így például a Hilbert tér formalizmusában.2 Érdekesek a szerzőnek azok a cikkei, amelyekben a hiperbolikus valószínűségek használhatóságának lehetőségeit vizsgálja, de most azokra az írásaira szeretnék reflektálni, amelyekben arra keres választ, hogy miképp jelenik meg a komplex és a hiperbolikus számok használata a kvantummechanika valószínűségszámítást alkalmazó modelljeiben. Egyfajta kontextusfüggő szemléletben lel megoldásra, amely tulajdonképpen a klasszikus feltételes valószínűségnek felel meg.3 Már a kvantumfizika kialakulásakor nagy figyelmet kaptak a méréseknél a kísérleti körülmények, azaz a vizsgálatok kontextusai, például Niels Bohr komplementaritási elve is ennek jegyében született. A kontextus függőség azonban nem fogalmazódott meg korrekt matematikai modellben, Khrennikovot idézve:

Az egyik probléma pusztán matematikai jellegű volt. A Kolmogorov 1933-ban axiomatizált rendszerén alapuló standard valószínűségi formalizmus fix kontextus formalizmus volt. Ez a hagyományos valószínűségi formalizmus nem biztosít szabályrendszert a különböző kontextusokra kiszámított valószínűségekre. Márpedig a kvantumelméletben a fizikai állapotok, kontextusok különböző összességeihez kapott statisztikai adatokkal kell dolgoznunk. Valójában a valószínűségek kontextusfüggését, mint a szuperpozíció elvének eredetét már Werner Heisenberg is felvetette; sajnos csak nagyon általános és meglehetősen filozófiai keretben.4

______________________________

1Lásd például a „Széljegyzetek Andrei Khrennikov hiperbolikus kvantummechanikájához” című cikket;
http://www.infinitemath.hu/egyeb/201-szeljegyzetek-andrei-khrennikov-hiperbolikus-kvantummechanikajahoz

2 Lásd például Andrei KhrennikovHyperbolic quantum mechanics című írását;
https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0101002.pdf

3 Példaként Andrei Khrennikov néhány cikke;
‘Quantum probabilities’ as context depending probabilities”; https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0106073.pdf ,
Contextual viewpoint to quantum stochastics”; https://arxiv.org/pdf/hep-th/0112076.pdf ,
Local Realism, Contextualism and Loopholes in Bell`s Experiments”; https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0212127.pdf

4 Andrei Khrennikov, Contextual viewpoint to quantum stochastics”; https://arxiv.org/pdf/hep-th/0112076.pdf
“One of problems was of purely mathematical character. The standard probabilistic formalism based on Kolmogorov’s axiomatics, 1933, was a fixed context formalism. This conventional probabilistic formalism does not provide rules of operating with probabilities calculated for different contexts. However, in quantum theory we have to operate with statistical data obtained for different complexes of physical conditions, contexts. In fact, this context dependence of probabilities as the origin of the superposition principle was already discussed by W. Heisenberg; unfortunately, only in quite general and rather philosophic framework.”

A teljes cikk PDF-ben itt található.

Utoljára frissítve: 2017. december 03., vasárnap 19:25
2017. június 14., szerda 21:04

A téridő geometriai algebrái

Írta:

A geometriai algebra többértelműsége a téridő modellekben

A szakirodalomban többféleképpen alkalmazzák a geometriai algebrát (GA) a téridő modellezésére. Ezek közül a módszerek közül két lényegesen eltérő módszert szeretnék kiemelni. A GA legismertebb újra felfedezője és tovább fejlesztője David Hestenes is kétféle megközelítést használ, így más módszert alkalmaz a korai; 1966-os megjelenésű „Space–Time Algebra” című könyvében, mint az 1999-ben kiadott „New Foundations for Classical Mechanics” című alapművében. Az előbbiben a négydimenziós Minkowski-téridő vektorai generálják a GA-t, míg az utóbbiban a háromdimenziós euklideszi térből épül a GA, és az idő a skalár-elemmel reprezentált. Ezek az eltérések nemcsak formaiak, de a GA és a téridő értelmezését alapjaiban érintik. Az eltéréseik lényegét szeretném végiggondolni ebben a cikkben.

Tartalom

1. Emlékeztető
1.1. Multivektorok a GA3-ban
1.2. Konjugáltak a GA3-ban
1.2.1. Clifford konjugált
1.2.2. Pauli konjugált
1.2.3. A komplex képzetes egység szerepe a Clifford és a Pauli konjugáltak képzésében
2. Minkowski téridő által generált GA, azaz GA1,3
2.1. Bivektor algebra
2.2. Lorentz transzformáció
3. Téridő modell a klasszikus GA3-ban: a skalár elem, mint idő-reprezentáció
4. Összegzés
1. Melléklet
Pauli algebra és mátrixok
2. Melléklet
Gamma vagy Dirac mátrixok, Dirac algebra
3. Melléklet
A Lorentz transzformáció ábrázolása a XX. században
a. Einstein koordináta-szintű leírása
b. Hiperbolikus függvények alkalmazása
c. Hiperbolikus számok használata a téridő leírására
Irodalom

A teljes cikk itt érhető el PDF-ben.

Utoljára frissítve: 2017. június 15., csütörtök 15:38

Konjugált fogalmak a GA3-ban

Tartalom

  1. Emlékeztető
  2. Involúciók; reverzió és konjugálás a GA3-ban
    1. Reverzió a GA3-ban
    2. Magnitúdó vagy modulus
    3. Konjugált a GA3-ban
  3. Észrevételek

Melléklet
   Pauli algebra

Irodalom

  1. David Hestenes,Space–Time Algebra”
  2. David Hestenes, „New Foundations for Classical Mechanics”
  3. Chris Doran & Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicist”
  4. Stephen Gull, Anthony Lasenby, Chris Doran, „Imaginary Numbers are not Real — the Geometric Algebra of Spacetime” http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/ImagNumbersArentReal.pdf

A teljes anyag PDF-ben innen tölthető le; 2017. május 9-én a 2.3 pont (12) és (14) egyenlete közötti szöveg javítva és kiegészítve.

Utoljára frissítve: 2017. május 09., kedd 21:03
2017. április 06., csütörtök 15:23

A geometriai algebra dimenziói

Írta:

Szubjektív és befejezetlen gondolatok a GA dimenzióiról

A hétköznapi életben általában térbeli kiterjedés értelemben használjuk a dimenzió kifejezést, de átvitt értelemben sok más esetben is, például az „új dimenzió”, „ebben a dimenzióban”, „más dimenziók”, „extra dimenziók” és egyéb szófordulatokban. Még ennél is gazdagabb a matematika és a fizika szakterületén használt dimenzió szó jelentésbeli tartalma. Ahányféleképpen definiált egy tér vagy topológia, annyiféle a dimenzió-értelmezés. A fogalom matematikai megközelítéséről írtam már egy keveset „A dimenziókról”1 című cikkemben.

1. Dimenzió és grade a GA-ban

____________________________

1Lásd itt.

A teljes anyag PDF-ben itt található.

 

Utoljára frissítve: 2017. április 06., csütörtök 15:38
2017. február 05., vasárnap 20:15

CA, GA és a kételemű számok – másodszor

Írta:

Izgalmas végkifejlettel

1. Bevezető gondolatok

Emlékeztetőül megismétlem, hogy a geometriai algebra (GA) egy vektortér Clifford algebrája (CA) a valós számtest fölött. Nemcsak a CA és GA fogalmai körül van zavar, ahogy a korábbi cikkemben1 megfogalmaztam, de az algebra alapfogalmai, a csoport, a gyűrű, a test és a ferdetest kifejezések használata sem egységes. E fogalmak tömör megfogalmazásai a következők:

  • Csoport: egyetlen kétváltozós asszociatív művelet egységelemmel és inverzzel,
  • Gyűrű: kettő darab kétváltozós alapművelet; egy kommutatív művelet, amellyel a gyűrű elemei additív csoportot alkotnak, és egy asszociatív szorzási művelet, amely disztributív az összeadásra.
  • Ferdetest: olyan gyűrű, amelynek a szorzásra nézve van egységeleme és inverze, azaz a 0-tól különböző elemek a szorzásra nézve csoportot alkotnak.
  • Test: olyan ferdetest, amelynek multiplikatív csoportja kommutatív.

A csoport kapcsán beszélhetünk kommutatív, vagy Abel-féle csoportról, ha a csoportművelet kommutatív. Egységelemes gyűrű az, ahol a multiplikatív műveletre létezik egységelem. Ebben a tekintetben nem egységesek a definíciók, mivel a gyűrű fogalma alatt sokan magát az egységelemes gyűrűt értik. Az angol nyelvű szakirodalomban a field kifejezés a fenti definíciók közül általában a testnek felel meg az algebrában. A ferdetestre az angol irodalom a division ring kifejezést használja, de előfordul erre a skew field megnevezés is, amely inkább ott fordul elő, ahol a művelet antiszimmetriáját, azaz a kommutativitás hiányát hangsúlyozzák. Sajnos a field kifejezést következetlenül a kommutatív és a nem kommutatív esetre is használják, azaz testre és ferdetestre egyaránt.

___________________________________

1 Lásd „A Clifford algebra, a geometriai algebra és a kételemű számok” című írást.

A teljes anyag PDF fájlban itt található.

Utoljára frissítve: 2017. február 05., vasárnap 21:13

C Doran A Lasenby

A geometriai algebra (GA) egy vektortér Clifford algebrája (CA) a valós számtest fölött. Többen azonos értelemben használják a két fogalmat, nem törődve azzal a különbséggel, hogy a CA-val szemben a GA a valós számokra szűkített, és sokkal inkább fókuszál a geometriai és fizikai felhasználásokra. Tréfásan úgy tekinthető a GA, mint a CA alkalmazott matematikája.

A komplex számokhoz hasonló fogalom származtatható a GA-ból, és feltételezhetően ez az egyik oka, hogy elegendőnek tartják a valós számokra szűkíteni a CA-t.

Nagyon tanulságos összevetni, amint a különböző szerzők a kételemű számok egyikét-másikát „levezetik” a valós CA-ból vagy a GA-ból. Ettől az áttekintéstől titokban azt is remélem, hogy segít majd az új számrendszer kialakításában, amelyet többek között a Hogyan tovább egy új számrendszerhez? című írásomban körvonalaztam.

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 3. oldalon a képletek javítva és módosítva 2017.06.03-án, Stefan Ulrych neve javítva 2017. július 6-án.

 

Utoljára frissítve: 2017. július 06., csütörtök 16:10
2016. november 23., szerda 18:42

Hogyan tovább egy új számrendszerhez?

Írta:

Desiderata

Izgalmas lett a téli este
és körénk szállt a túlvilág:
számok nőttek elő a földből
és bujkáltak egymáson át

/Szabó Lőrinc, Lóci meg a számok/

1. A szám fogalma

A számok fogalma nem pontosan definiált a matematikában, olyan alapfogalom, amelyet nem vezetünk vissza más fogalmakra, csak körülírjuk egyfajta axiómaként. Általában olyan matematikai objektumként jellemezzük a számokat, amelyek sorrendképzésre, számolásra, mérésre, mennyiségek összehasonlítására, és azonosításra (címkézésre) használhatók. A számok rendszere folyamatosan bővül, ahogy a matematika fejlődik, és ma nagyon jelentős változáson megy keresztül.
A számok legfontosabb képviselői az alábbiak, felfedezésük történeti sorrendjében:

  • Természetes számok,
  • Egész számok, azaz a természetes számok 0-val és negatív számokkal bővítve,
  • Racionális számok, az egészek hányadosaként megjelenő számok,
  • Valós számok. azaz a racionális számok bővítése irracionális számokkal. Az irracionális számok a természetben előforduló olyan mennyiségek leírására alkalmasak, melyek racionális számként nem jellemezhetők.
  • Komplex számok, melyek lehetővé teszik a gyökvonást negatív számokon,
  • Kételemű számok, azaz a komplex számok és „testvér-számaik”, melyek jellemzője, hogy az egyik additív elemük valós szám, a másik additív elemük olyan nem valós, képzetes szám, melynek négyzete valós szám. Három, egymástól lényegesen eltérő típusuk van:
  • komplex számok, melyek képzetes egységének négyzete –1-gyel egyenlő,
  • parabolikus – vagy ismertebb nevén duális – számok, melyek képzetes egységének négyzete 0-val egyenlő, de nem azonos a 0-val,
  • hiperbolikus számok, melyek képzetes egységének négyzete +1-gyel egyenlő, de nem azonos a valós ±1-gyel.

A fentieken kívül vannak egyéb számfajták is, de azok kevésbé fontosak a vizsgálódásaim szempontjából. Minden útkeresésben sok lehetőség közül választhatunk, így van ez a számrendszereknél is. A címben utalt számrendszer a számok rendszerének olyan bővítése, melynek a fent felsorolt valamennyi számtípus a részét képezi. A 2. pontban azokat a feltételeket és szempontokat sorolom fel, melyek leszűkíthetik a választási lehetőségeket, és megkönnyíthetik – vagy éppen megnehezíthetik – az új számrendszer felfedezését, ha egyáltalán léteznek olyan számok, melyek megfelelnek a kívánság-lista követelményeinek.

 

A teljes anyag PDF fájlban itt található, mely 2016. december 12-én korrigált és bővített változat.

Utoljára frissítve: 2017. január 14., szombat 21:43

P1050632 kv

Kételemű számok, mint téridő-elemek a valószínűségszámításban

1. Bevezető gondolatok

Néhány hete olvastam egy cikket az ÉS-ben; „A politikában nem a valószínűségek döntenek”1 címmel. A cikk egy szociológussal készített interjú, és elsősorban az Európai Unió jelenlegi helyzetéről és jövőjéről szól. Nem ez a cikk adta írásom apropóját, de akár adhatta volna, ugyanis a cikk a fő mondandóján kívül azt is érzékelteti, hogy mennyire nem értik a valószínűségszámítás matematikáját még azok sem, akiknek munkaeszköze. Nem figyelnek oda azokra a forradalmi változásokra, melyek jelenleg a valószínűségszámítás módszertanát érintik.

A témával kapcsolatban alapvető problémának érzem, hogy nem vesszük elég komolyan a több mint száz éve tudottakat a téridőről, arról, hogy a tér és az idő nem önmagukban külön-külön létező entitások, csak együtt létezhetnek, az egyik változása magával vonja a másik változását. Sok tudományterület figyelmen kívül hagyja mindezt, közöttük a kiemelkedően fontos valószínűségszámítás is, és ennek eredményei illetve ellentmondásai áthatják a tudomány egészét. A tér és az idő egymástól függő változásának felismerése a speciális relativitáselmélettel kezdődött, de kevésbé tudott, hogy a kvantummechanikában – továbbiakban QM – a komplex számok használatának is az az oka, hogy a változások téridőben történnek, és nem az abszolút tér és az abszolút idő hátterén írhatóak le az események. Közel száz évnek kellett eltelnie, hogy megjelenjen a gondolat; a QM-beli valószínűségszámítás módszertana általánosan kötelező minden valószínűség­számításban, de nem úgy, ahogy kezdetben néhányan gondolták. Ennek az új felismerésnek az első lépcsője az volt, amikor néhány éve – elsősorban Andrei Khrennikov2 írásaiban – megjelent a hiperbolikus QM lehetősége. Ennek az elképzelésnek a tovább gondolásával tudtam levezetni, hogy a parabolikus QM alap-összefüggései a klasszikus valószínűségszámítás alapműveleteivel egyeznek meg.3

______________________________

1A politikában nem a valószínűségek döntenek – Bruszt László szociológussal Rádai Eszter készített interjút”, Élet és Irodalom, LX. évfolyam, 34. szám, 2016. augusztus 26.  7. oldal;
http://www.es.hu/radai_eszter;8222;a_politikaban_nem_a_valoszinusegek_dontenek8221;;2016-08-25.html

2 Lásd például Adrei Khrennikov, „Hyperbolic quantum mechanics” című írását; http://arxiv.org/abs/quant-ph/0101002

3 Lásd például Széljegyzetek Andrei Khrennikov hiperbolikus kvantummechanikájához című cikkemet.

 

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 2016. október 5-én javított verzió.

 

Utoljára frissítve: 2017. január 14., szombat 22:00

A kiszámíthatóság szerepe a fizikában

„A fázistér pontjának koordinátáit végtelen pontossággal – azaz minden tizedesjegyet ismerve! – kellene tudnunk, hogy értelme legyen az állításnak, miszerint a pont nem kiszámítható. (Véges tizedestörttel leírt szám mindig kiszámítható.) Egy szám tizedes kifejtésének véges része semmit nem mond a szám teljes kifejtésének kiszámíthatóságáról. Azonban minden fizikai mérés csak meghatározott korlátos pontossággal végezhető el, csak véges számú tizedesjegyről adhat információt. Értelmetlenné teszi-e ez a "kiszámítható szám" egész koncepcióját a fizikai mérésekre alkalmazva?”
(Roger Penrose, A császár új elméje – Számítógépek, gondolkodás és a fizika törvényei, 5. fejezet; A klasszikus világ, Fázistér)
1

1. A természetes számok és a végtelen minőségi jellege

A végtelenek minőségi jellege egészen más megvilágításba helyezi a kiszámítható szám és általában a kiszámíthatóság fogalmát. Emlékeztetőül annyit a végtelenek minőségi megközelítéséről, hogy a valós számegyenesemet olyannak gondolom, mely potenciálisan minden természetes számot tartalmaz, de a helyiértékes számábrázolásban, a 10-es számrendszerben 10μ formában felírható számosságot, az úgynevezett kontinuum-végtelent már nem tartalmazza, ahol μ a természetes számok számossága. Ez azt jelenti, hogy potenciálisan μ helyiérték áll a rendelkezésemre a pozitív egészek ábrázolására. Igaz egyúttal az is, hogy aktuálisan csak véges – bár tetszőlegesen nagy – számot vagyok képes megjeleníteni. Ez a gondolatsor ihlette a kételemű számok képzetes elemeinek végtelen-értelmezését. (A kételemű számok alapvető tulajdonságait lásd a Mellékletben, amit egy korábbi cikkemből emeltem át, a minőségi végtelen modelljének megközelítéseit pedig lásd „A geometriai algebrában rejtőzködő végtelen” című cikkben. )

________________________________________

1 “It would require infinite precision for the coordinates of a phase-space point- i.e. all the decimal places!- in order for it to make sense to say that the point is non-computable. (A number described by a finite decimal is always computable.) A finite portion of .a decimal expansion of a number tells us nothing about the computability of the entire expansion of that number. But all physical measurements have a definite limitation on how accurately they can be performed, and can only give information about a finite number of decimal places. Does this nullify the whole concept of 'computable number' as applied to physical measurements?” (Roger Penrose, The Emperor’s New Mind – Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics, Chapter 5; The classical World, Phase space)

 

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 2017. július 22-én javított verzió.

1. A végtelen és a kételemű számok

Korábban már kapcsolatot találtam a kételemű számok, és a végtelen egy speciális értelmezése között. Ezt kétféleképpen tettem meg:

1.1. A végtelenről másképp – heurisztikus megközelítéssel1

A negatív számok gépi ábrázolása adta az ötletet, hogy a végtelen nagy számokat a valós tört számok helyiértékes számábrázolásához hasonlóan írjam fel, például egy speciális végtelen szám a következő helyiértékes alakban írható fel a tízes számrendszerben:

…999                                                               (1)

Azaz a …999 szám esetében megszámlálhatóan sok 9 szerepel az egész számok ábrázolására használt helyiértékeken a 10-es számrendszerben.

Mit tudunk elmondani erről a fenti végtelen nagy számról? Mindenekelőtt azt, amit a valós ’–1’-ről, azaz

…9992=1                                                         (2)

A fenti egyenlőséget az ember idegenkedve nézi, hiszen azt kaptuk, hogy egy végtelen nagy szám négyzete véges nagy. Ez hasonlóan értelmezhető, mint a gépi számítások során az un. túlcsordulás jelensége. Mondhatjuk, hogy a (2) egyenletet egy szorzáskor előfordult „túlcsordulás” magyarázza, mely akkor áll elő, ha a számábrázolás nem terjed ki az un. transzfinit – azaz minden természetes számnál nagyobb – helyiértékeken való számábrázolásra. Cantor fogalmait használva ez az a végtelen, amit 10μ formában írhatok fel, ahol μ a természetes számok számossága, azaz olyan végtelen, melynek helyiértékes ábrázolásában a sorrendben 10μ-dik helyiértéken értékes, azaz nem 0 számjegy áll. Ugyanakkor lehetnek olyan végtelen nagy számok, melyek minden természetes számnál nagyobbak, de kisebbek a transzfinit helyiértékeken is értékes – azaz nem 0 – számjegyeket is tartalmazó számoknál. Ezen számok egyike a (2) egyenletben megnevezett …999 szám is, tehát általában azok a számok, melyeknél a transzfinit helyiértéken lévő esetlegesen értékes számjegyekkel nem számolhatok, mert „nincs rá hely”, de tetszőlegesen nagy természetes számhoz tartozó helyiértéken van nem 0 számjegyük.

______________________________________________

1 Az itt leírtakat „Az idő, a tér és a végtelen” című írásom 4.5 pontjából emeltem át

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, Stefan Ulrych neve javítva 2017. július 6-án.