A kiszámíthatóság szerepe a fizikában

„A fázistér pontjának koordinátáit végtelen pontossággal – azaz minden tizedesjegyet ismerve! – kellene tudnunk, hogy értelme legyen az állításnak, miszerint a pont nem kiszámítható. (Véges tizedestörttel leírt szám mindig kiszámítható.) Egy szám tizedes kifejtésének véges része semmit nem mond a szám teljes kifejtésének kiszámíthatóságáról. Azonban minden fizikai mérés csak meghatározott korlátos pontossággal végezhető el, csak véges számú tizedesjegyről adhat információt. Értelmetlenné teszi-e ez a "kiszámítható szám" egész koncepcióját a fizikai mérésekre alkalmazva?”
(Roger Penrose, A császár új elméje – Számítógépek, gondolkodás és a fizika törvényei, 5. fejezet; A klasszikus világ, Fázistér)¹

1. A természetes számok és a végtelen minőségi jellege

A végtelenek minőségi jellege egészen más megvilágításba helyezi a kiszámítható szám és általában a kiszámíthatóság fogalmát. Emlékeztetőül annyit a végtelenek minőségi megközelítéséről, hogy a valós számegyenesemet olyannak gondolom, mely potenciálisan minden természetes számot tartalmaz, de a helyiértékes számábrázolásban, a 10-es számrendszerben 10^μ formában felírható számosságot, az úgynevezett kontinuum-végtelent már nem tartalmazza, ahol μ a természetes számok számossága. Ez azt jelenti, hogy potenciálisan μ helyiérték áll a rendelkezésemre a pozitív egészek ábrázolására. Igaz egyúttal az is, hogy aktuálisan csak véges – bár tetszőlegesen nagy – számot vagyok képes megjeleníteni. Ez a gondolatsor ihlette a kételemű számok képzetes elemeinek végtelen-értelmezését. (A kételemű számok alapvető tulajdonságait lásd a Mellékletben, amit egy korábbi cikkemből emeltem át, a minőségi végtelen modelljének megközelítéseit pedig lásd „A geometriai algebrában rejtőzködő végtelen” című cikkben. )

________________________________________

¹ “It would require infinite precision for the coordinates of a phase-space point- i.e. all the decimal places!- in order for it to make sense to say that the point is non-computable. (A number described by a finite decimal is always computable.) A finite portion of .a decimal expansion of a number tells us nothing about the computability of the entire expansion of that number. But all physical measurements have a definite limitation on how accurately they can be performed, and can only give information about a finite number of decimal places. Does this nullify the whole concept of 'computable number' as applied to physical measurements?” (Roger Penrose, The Emperor’s New Mind – Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics, Chapter 5; The classical World, Phase space)

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 2017. július 22-én javított verzió.