Avagy az intenzív és az extenzív végtelen „Ahhoz, hogy megismerjük azoknak a számoknak a természetét, amelyek szerint például a "geometriai távolságot" meg kell határozni, tudnunk kell, hogy mi történik mind a végtelenül kis, mind a végtelenül nagy távolságban. Ezek a kérdések még ma sincsenek egyértelműen megoldva.” (Roger Penrose) Eddig másról sem írtam, mint arról, hogy a kontinuumhipotézist (CH) és alternatíváit modellező kételemű számok képzetesei a végtelent mind végtelenül kicsiben (az intenzív végtelenben), mind pedig végtelenül nagyban (az extenzív végtelenben) modellezik, azaz a végtelennek olyan minőségében eltérő jellegét ábrázolják, amely mind az intenzív, mind az extenzív végtelen sajátja. A projektív geometria ideális elemei is érzékeltetnek valami hasonlót, amelyek ugyan intuitív módon egy „végtelen távoli” ponttal és egyenessel bővítik az egyenest, illetve…

A polinomegyenletek megoldásainak hiányosságai „A matematika (…) egyáltalán nem lezárt tudomány. Még olyan alapvető dolgok területén is, mint a számok és mértani alakzatok, a tudatlanságunk sokkal nagyobb a tudásunknál.” (Jordan Ellenberg)1 A matematikai végtelenfogalom módosításának szerteágazóak a következményei, ezek közül többet említettem már, ha részleteiben nem is fejtettem ki mindegyiket. Fontos tulajdonsága ennek a végtelenfogalomnak, hogy szoros kapcsolatban áll Cantor kontinuumhipotézisével (CH)2, és vele a halmazelmélet axiomatikus megalapozásával, hiszen a CH és alternatíváinak számszerűsített változatával3 három, a CH-ban különböző halmazelméletet „gyárthatunk”, hasonlóan ahhoz, amint a geometriában a háromszögek szögösszegeinek definiálásától függően más-más geometriához jutunk. A CH számszerűsített változatával a valószínűségszámítás is egységesíthető, és három eltérő változata axiomatizálható.4 Ha mindez nem elég, akkor feltétlenül meg kell említeni, hogy a valós tereinket…

Töprengések „Ősidők óta egyetlen kérdés sem kavarta fel annyira az emberek érzelmeit, mint a végtelennek a kérdése. Olyan gyümölcsöző hatással volt az észre, mint talán egyetlen más eszme sem. Mindamellett nincs még egy olyan fogalom, amely annyira tisztázásra szorulna, mint ez.” (David Hilbert)1 Ami itt következik az ugyan a számokról szól, de nem az egzakt matematika nyelvén. A számok egynémely tulajdonságával, mibenlétével kapcsolatos töprengéseimet foglalom össze. A számok elvont fogalma több jelentéssel bír a gyakorlatban, hiszen még a nyelvtanban is megkülönböztetjük a sorszámokat a számoktól, azaz a számoknak valamiféle rendezettségre utaló jelentését a mennyiségre vonatkozó értelmétől. A számegyenesen pedig egy természetes számot jelölő pont, például a 3-at jelölő, egyszerre jelenti a harmadik természetes számot, továbbá az origótól való 3 egységnyi…