Ha két lehetőség között választhatunk, akkor kétféleképpen járhatunk el: vagy igent mondunk az egyik lehetőségre, vagy határozott nemet. Ez utóbbi esetben azt választjuk, amire nem mondtunk sem igent, sem nemet. Több választási lehetőség esetén az eljárás hasonló: vagy egy igennel azonnal kiválasztunk egy lehetőséget, vagy nemek sorozatával jutunk egy olyan választáshoz, amikor már csak két lehetőség közül választhatunk.

A nemmel, vagy nemek sorozatával történő választás megfelel Tarski, és az ő nyomán Karl Popper módszerének: megállapításuk szerint az igazságnak nincs kritériuma, csak a hamisságnak, ezért az igazság megközelítése a hamisságok kizárásával történik. Karl Popper ezt az „igazság kritikus keresésének” nevezi. Nagyon fontos azt tudni, hogy miközben az igazságnak nincs kritériuma, ez nem jelenti a létének tagadását.

A tudományos elméletek közötti választás is a hamis, vagy semmitmondó elméletek kizárásával történik. A fentiek miatt tartja fontosabb kritériumnak Karl Popper egy tudományos elmélet cáfolhatóságát – falszifikálhatóságát – a bizonyíthatóságával szemben.

Általában az „igennel” történő választások csalódáshoz vezetnek, mert nagyon kicsi, gyakorlatilag nulla a valószínűsége annak, hogy az igazit választjuk. A „nemmel” történő, kizárásos alapon működő választás pedig nem okoz csalódást, hiszen a választásunk módjában benne volt annak a feltételezése, hogy nem az igazit választottuk, csak az igazihoz közelebb állót. Lehet ezek után lelkesedni valamiért? – kérdezhetné valaki. Nagyon lehangoló lenne, ha erre a kérdésre a NEM lenne a jó válasz. Nem csak azért válaszolok erre a kérdésre IGEN-nel, hogy ne legyen nyomasztó a válaszom, hanem azért, mert saját tapasztalatom is az, hogy vannak célok, vannak dolgok, amiért jó kiállni, jó lelkesülni. Igaz, hogy ezek a célok vagy nagyon távoliak, vagy nagyon elvontak. Nem könnyű megtalálni őket, de érdemes.

A végtelen idő térként jelenik meg - a végtelen alatt nem a Cantor-féle végtelent értve

A végtelen és a kételemű számok összefüggése érdekes megvilágításba helyezi a tér és az idő kapcsolatát. Einstein relativitás elmélete szerint eddig is tudtuk, hogy a tér és az idő igen szoros kapcsolatban áll. Az idővel kiegészített három térbeli koordináta által meghatározott négyes-vektort Lorentz vektornak is nevezik, mivel két ilyen vektor skalár-szorzata invariáns a Lorentz transzformációra. Így maga a vektor hossza, vagy szakszerűbben normája is invariáns rá.

Mivel a Lorentz transzformáció az, amit használnunk kell, ha a téridőben mozgó inerciarendszerben leírt mozgásról át akarunk térni egy másik inerciarendszerbeli leírásra, ezért nyilvánvaló, hogy a hiperbolikus számok alkalmasak lehetnek erre a leírásra. Ezt már a fizikusok is felfedezték, ahogy a „Kapcsolatom a kételemű számokkal” című írásomban említettem. Einstein relativitás elméletéből, pontosabban a Lorentz transzformációból következik, hogy fénysebesség közeli sebességgel mozgó koordinátarendszerben a mozgás irányában a tér „megrövidül” a külső megfigyelő számára, ugyanakkor a mozgó koordinátarendszerben idődilatációt tapasztal, azaz a mozgó koordinátarendszerbeli időintervallumok meghosszabbodnak a külső megfigyelő számára. Szakszerűtlenül fogalmazva egy külső megfigyelő számára a fénysebességhez közeli sebességgel mozgó rendszerben a tér összenyomódik a mozgásának irányában, az idő viszont meghosszabbodik. Olyan, mintha a térbeli veszteség időbeli nyereséggé alakulna, tehát mintha a tér és az idő átalakulhatna egymásba. A végtelen és a kételemű számok összefüggése épp ezt fogalmazza meg, hiszen ott már ötletszinten felmerült, hogy a hiperbolikus számoknál a k²=1 egyenletben szereplő k-szám felfogható végtelen nagy számként, azaz a kételemű szám egyik eleme a véges 1-essel való szorzat, a másik eleme a végtelen nagy számot jelképező k-számmal való szorzat. Ha a Lorentz transzformációban csak egy térkoordinátát, és egy időkoordinátát tekintek az egyszerűség kedvéért, akkor a fentiekből az következik, hogy a tér és az idő kapcsolata a végtelen és a véges kapcsolatának felel meg. (Nem szabad elfelejteni, , hogy itt nem a Cantor-féle végtelenről van szó. A nem-Cantori végtelen alatt azt értem, hogy a kételemű számok nem Cantor transzfinitjeinek egyikét jelölik, hanem az e transzfiniteknél kisebb, de minden természetes számnál nagyobb végtelen számot, vagy annak hiányát.) Ez egyben azt is jelenti, hogy a véges és a végtelen bizonyos szempontból relatív mennyiségek, hiszen a fent leírt fénysebesség közeli mozgásnál a térbeli veszteség időbeli nyereséggé alakul, tehát a végtelenbeli veszteség végesbeli nyereséggé alakul. A véges és a végtelen relatív volta nem új gondolat a fizikában, hiszen a fekete lyukak matematikai leírásában megjelenik.

Régóta érdekel a pénz információvá válásának a folyamata. Ha végig tekintünk a pénz történetén, akkor egy lassú dematerializálódást látunk. Korunkban a pénz jobbára már csak tiszta információként van jelen: számlapénzként a bankban, az interneten számadatokként mozgatható, átutalható, vásárláskor bankkártyáról számadatból váltható anyagi termékre.

Ebben a folyamatban, pontosabban a pénz információként való megjelenésében látom a jelenlegi gazdasági krízis okát. Az információ egyik legalapvetőbb tulajdonsága, hogy másolható: megmarad az eredeti helyén, és az új helyén is megjelenik (legalábbis makro-szinten). Így az anyagi létezőktől eltérően folyamatosan keletkezik, a forrás-egyenlete nem egyenlő nullával. Láttam arra példát, hogy egy bank működésének matematikai modelljében a pénz forrásegyenletét helytelenül nullával tették egyenlővé. (Erről tettem említést „A változásokról és az evolúcióról” szóló írásom 6. oldalán a 18. lábjegyzetben. )  Természetesen a gazdasági szakemberek régóta tudják, hogy a pénz folyamatosan keletkezik manapság; amikor egy bank vagy egy áruház hitelkártyát bocsát ki, de leginkább a pénzpiacok derivatív műveletei során folyamatosan új, elkölthető pénzt dobnak a piacra. Már rég nem állami privilégium a pénzkibocsátás. Ebből az következik, hogy szabályozatlanul nagy mennyiségű pénz van jelen a piacon, és ez a mennyiség nem feleltethető meg az érte kapható áruk mennyiségének. Információként való megjelenése mellett a pénz ugyanakkor anyagi termékek „egyenértékese” is, de az anyagi termékek viselkedése nem az információra vonatkozó törvények alapján írható le.  Az anyagi termék, és egyenértékesének, a pénznek ez az eltérő mennyisége és másfajta viselkedése okozhatja a gazdasági kríziseket. A gazdasági szakembereknek az információelmélet szemszögéből is meg kellene nézniük a pénzügyi folyamatokat, mert a pénz mozgását ma már az információra vonatkozó törvényszerűségek írják le. Így a folyamatok szabályozhatóságának a titkát is az információelmélet eszközeivel lehetne felderíteni.

•   Nem általánosan tiltja a hazugságot. Sokkal egyszerűbb lett volna azt parancsolni, hogy ne hazudj. Nyilván fontos a bonyolultabb fogalmazás oka és célja.

•   A hazugságot valaki ellen tiltja.

Leszek Kolakowski - kedvenc filozófusom - arról ír a hazugság kapcsán, hogy különbözőképpen ítéljük meg az állatvilágban tapasztalható megtévesztéseket. Ha a mimikri az állat életét védi, azt pozitívan értékeljük, ellenben nem tetszik, ha a megtévesztés célja a zsákmányszerzés. Ez összhangban van a fenti bibliai paranccsal, azaz etikai érzékünk a mimikri-típusú megtévesztésben is a mások ellen irányulót helyteleníti, a védekezőt elismeréssel illeti a közvélemény.

Egy idézettel kezdem, mert én sem tudnám jobban megfogalmazni cikk-indító gondolataimat. Az idézet a 60-as évek elejéről való, de aktualitását máig nem veszítette el.

„…az egész modern matematika lényegileg az intenzív aktuális végtelenség fogalmára (vagy eszméjére) támaszkodik. A halmazelmélet segítségével sokkal kisebb mértékben fejlődött az extenzív végtelenség eszméje. Cantor elődje, Bolzano akinek a nézetei nagy hatással voltak a halmazelmélet formálódására, igyekezett megoldást találni a végtelen mennyiség (extenzív végtelenség) problémájára. Mindamellett a halmazelmélet az intenzív végtelenség rendkívül gazdag elméleteként formálódott, míg az extenzív végtelen fogalma lényegében idegen maradt számára.”¹

Cantor végtelenség fogalma az extenzív végtelenről szól, de ő nem kötötte össze e fogalmat az intenzív végtelennel. Nincs kapcsolat a végtelen nagy, és a végtelenül kicsi között, pedig van egy művelet: a reciprok-képzés, ami elvezethetne egyiktől a másikig. A megoldatlanság oka az, amit A.A. Fraenkel és J. Bar-Hillel² „a diszkrétség és a folytonosság közötti szakadéknak” nevez.

Amint az „Aktuális és potenciális létezés” című írásomban írtam, Cantor aktuális létezőnek nyilvánította ki az extenzív értelemben végtelenül nagy számokat, amelyek minden természetes számnál nagyobbak. A korábbi végtelen fogalomtól megkülönböztetve transzfinit számoknak nevezte őket. Az a probléma ezekkel a számokkal, hogy kimélyítették a diszkrétség és folytonosság közötti szakadékot – holott a matematika infinitezimálisokról szóló, évszázadok alatt kidolgozott technikája szilárdnak tűnő hidat épített közéjük – a transzfinit bevezetése épp a fordítottját tette, a szakadék ekkor nyílt meg igazán. Cantor transzfinitjei „megközelíthetetlenek”, mivel egy potenciálisan végtelen számsor előzi meg őket, melynek minden eleme végtelen távol van a transzfinittől.

Cantor nem viszi végig az extenzív végtelenben megtett utat az intenzív végtelen felé is, azaz nem beszél olyan parányokról, amelyek kisebbek az 1/n sorozat minden eleménél, de nagyobbak 0-nál. Nem tette ezt meg, mert ezzel megszüntette volna a folytonosság kiforrott, jól használható fogalmát, hiszen ugyanolyan mély szakadék nyílt volna meg az intenzív végtelenben is, mint az extenzív végtelenben, azaz a számegyenes minden pontjában. Ez az intenzív végtelen kibővítését elkerülő magatartás csak látenssé tette a szakadékot. Hogyan kezelhető hát ez a „szakadozott” számegyenes? Erről szólnak a kételemű számok, ahol a metrika látványosan tükrözi a szakadás mibenlétét, és nemcsak tükrözi, de kezelhetővé is teszi. Mielőtt erre rátérnék, rámutatok néhány problémára a végtelenek, a számosságok és rendezettségek cantori technikájában.

Akkor, amikor a valós számok és a természetes számok számosságát hasonlítjuk össze, akkor van két dolog, amit hallgatólagosan felteszünk:

A fenti két feltételezések mindegyikével probléma van a természetes és a valós számok összehasonlításában:

Most csak a problémákat vetettem fel, a megoldás még hátra van. Annyit előzetesen még megfogalmazok, hogy a megoldásban a kételemű számok fognak segíteni, ugyanis lehet egy számhalmaz olyan, hogy 0,999… < 1,000…, és ezeknél ugyanaz mondható el, mint amit a „Kételemű számok és a végtelen” című írásomban a …999 számról állítottam: 0,999…² = 1. Azaz eljutottam a hiperbolikus számokhoz. A részletekről később. Annyit még, hogy a 0,999…² = 1 matematikailag elfogadhatatlannak tűnhet. Hogyan lehet egy egynél kisebb szám négyzete 1-gyel egyenlő? A magyarázat ugyanaz, mint a …999² = 1 esetében: csak itt az aktuálisan végtelen parányok „hatása” jelenik meg az eddig már jól ismert valós számok körében. Ez annak a fizikai jelenségnek a matematikai modellje lehet, amikor a mikrovilág változásai "felnagyítódnak", és a változás makro-szinten is megjelenik.

______________________________________________

¹ G.I. Naan, Végtelenség és világegyetem, „A végtelenség fogalma a matematikában és a kozmológiában”

² A.A. Fraenkel , J. Bar-Hillel: A halmazelmélet alapjai

³ A 0,999... = 1 egyenlőséggel kapcsolatos gondolatok, viták, bizonyítások egy tűrhető leírása megtalálható a Wikipédián. 

Ismét beleolvastam Hadamard^[1] csodálatos könyvébe, ami címe szerint a matematikusok elméjéről, alcímében a matematikai találmányok pszichológiájáról szól, viszont a témája a jó öreg intuíció. Akármilyen öreg fogalom is az intuíció, ismeretlen, és ezért titokzatos. Pedig mindennapi tapasztalatunk van róla. Nemcsak a matematikusok, művészek, tudósok „használják”, de minden ember nap, mint nap él vele, csak nincs tudatában. Hétköznapiságát leleplezi az a magyar mondás is, hogy „aludjunk rá egyet”, vagy másképpen szólva: „a reggel bölcsebb az esténél”. Ezek a mondások tulajdonképpen azt tanácsolják, hogy nehéz döntéseknél ne csak az eszünkre, de a megérzéseinkre is hallgassunk. Ősi tapasztalat tehát, hogy az intuíció egy kis „probléma pihentetés” után jelenik meg, amit Hadamard inkubációnak nevez.

Nekem most egy másik hasonlat jutott eszembe az intuícióról. Az intuitív látás hasonlít ahhoz, mint amikor egy gyenge fényű, távoli csillagot nézünk. Ha a csillagra fókuszálunk, akkor eltűnik a szemünk elől, de amint egy nagyobb területet fogunk át a szemünkkel – a fókuszt „végtelenre” állítjuk – azonnal megjelenik a látványban a csillag halvány fénye.

Hasonlóan működhet az intuíció is. A képben, vagy a tanulmányozott anyagban kezdettől fogva ott van az ismeretlen összefüggés alig észrevehetően. Ez csak akkor jelenik meg érzékelhetően, ha a tudatos figyelem elterelődik a tárgy ismert, és ezért „harsány” tulajdonságairól, és a másra irányuló figyelem kitáguló, az eddigi ismereteket elhomályosító hátterében az új összefüggés képe felfénylik.

Ebben a gondolatsorban az is benne van, hogy én nem „találmánynak” gondolom a tudósok, vagy művészek új gondolatait, hanem felfedezésnek, valami olyasmi észrevételének, ami ott van a szemünk előtt, de bonyolultsága, vagy újszerűsége miatt kezdetben „láthatatlan” számunkra, amíg valakinek intuitív módon meg nem jelenik.

A rosszat Karl Jaspers „saját véleménynek” nevezett abszolút önzéssel azonosítja, a mások érdekeit semmibe vevő viselkedéssel írja le. Ezzel lényegében egyet értek. És ebből már az is következik, hogy a gonoszság öngól: a környezet – a társadalom – bünteti az abszolút önzést, mert veszélyezteti a tagjait, és ezzel magát a társadalmat^[1]. Így ez a megközelítés egyben a saját véleményben fellelhető tudatlansághoz, hibás múlt- és jövőképhez köti a rosszat. Ez magyarán azt jelenti, hogy a gonosz hibásan értelmezett okokból kiindulva követi el rosszaságait, és nincs tudatában tettének jövőbeli következményeivel.

A jóságot definiálhatnám a rossz ellentéteként, tehát abszolút önzetlenségként. Szeretem az empátia-képességgel magyarázni a jót. Az, aki igen nagy empátiával, a mások érzéseinek átélő-képességével rendelkezik, az tudatosan soha nem fog másoknak ártani, mert közben ő maga is elszenvedné az ártalmakat. Érdekes, hogy az empátia azt is jelenti egyben, hogy aki ezzel rendelkezik, annak több információja, tudása van a másik emberről, általánosan értve a környezetéről. Így mind a gonoszság, mind a jóság valami módon az információhoz, a tudáshoz kötődik: ennek hiánya az egyik, és többlete a másik oldalon.

Azzal, hogy így a gonoszságot és a jóságot a tudatlanságból és a tudásból eredeztettem, megértésükben könnyebbé is vált a dolgom, mert az információ – és annak egyik emberi formája – a tudás már matematikai eszközökkel is modellezhető.

A fenti gondolatmenetet követve, pontosabban a gondolatmenetet megfordítva arra a gondolatra jutottam, hogy az Univerzumbeli bonyolultság növekedés^[2] azt is jelenti, hogy amint a bonyolultság, és így az egyes rendszerek információ tartalma növekszik, úgy növekszik a jóság is körülöttünk.

Cantor olyan végtelen számokat definiált, melyek a megszámlálhatóan sok természetes számokon túl helyezkednek el, transzfinit számok. A negatív számok gépi ábrázolása adta az ötletet, hogy bizonyos végtelen nagy számokat a valós tört számok helyiértékes számábrázolásához hasonlóan írjam fel, például egy speciális végtelen szám a következő helyiértékes alakban írható fel:

…999

A  …999 szám¹ esetében tehát megszámlálhatóan sok 9 szerepel az egész számok ábrázolására használt helyiértékeken a 10-es számrendszerben. Láthatóan semmi mást nem csináltam, mint a valós törtek helyiértékes ábrázolásánál.

Mit tudunk elmondani erről a fenti végtelen nagy számról? Mindenekelőtt azt, amit a valós -1-ről, azaz

…999 ²=1                                *

A fenti egyenlőséget az ember idegenkedve nézi, hiszen azt kaptam, hogy egy végtelen szám négyzete véges nagy. Pedig van magyarázat; hasonló történt, mint a gépi számábrázolásban, ott ez az un. túlcsordulás jelensége. Épp ezért alkalmas a számítógépekben a – fenti számtól eltérően véges sok számjeggyel leírt –  99...999 módon ábrázolt szám a negatív számok ábrázolására. Hasonlóan mondhatjuk, hogy a fenti  egyenletet egy szorzáskor előfordult „túlcsordulás” magyarázza, és ez akkor áll elő, ha a számábrázolásom nem terjed ki az un. transzfinit számok ábrázolására, viszont érdekes módon a végtelen „hatása” megjelenik a műveletek végrehajtásakor. (Ennek értelmezéséhez szükség lesz a kontinuumhipotézis speciális fajtájára is, de erről majd később. Most annyit érdemes tudni, hogy a *-ban mefogalmazott definíció szoros kapcsolatban áll a kontinuumhipotézis egyfajta megfogalmazásával. Egyelőre tréfásan úgy képzelhető el, hogy a transzfinit végtelen „farkincája” belelóg a megszámlálhatóan végtelen sok helyiértékkel ábrázolható egész számok körébe, vagy egy kicsit komolyabban úgy gondolhatunk rá, mintha a végtelen nagynak valamiféle vetülete jelenne meg a végesben.)

x + yk          ahol k²=1

Hasonló elgondolással juthatok a parabolikus számokhoz³ is. (A komplex 'i' szám után abécé sorrendben következő 'j', és 'k' betűket használtam fel a parabolikus, és a hiperbolikus számok jelölésénél.)

A fentiek „értelmességét” az is alátámasztja, ha a projektív geometriát használjuk analógiára, és az ott bevezetett ideális pontokra gondolunk. A projektív geometriában az egyenes ideális pontját sokszor nevezik végtelen távoli  pontnak, de az ideális pont elnevezés elterjedtebb. Hajós György is felhívja a figyelmet a „Bevezetés a geometriába” című könyvében az ideális térelemekről szóló fejezetben:

„Az új térelemek bevezetésekor nem volt szó arról, hogy egy pont vagy egy egyenes minden határon túl eltávolodik. Ha valaki így akarna szemléletes jelentést adni az újonnan bevezetett pontoknak, és egyeneseknek, és azokat «végtelenbe távozott» pontoknak és egyeneseknek látja, akkor jelentős akadályok állják útját a szemléletes kép kialakulásának. Ilyen akadályt jelent az a kijelentés, hogy ha egy egyenesen az egyik vagy a másik irányban «távozik a végtelenbe» egy pont, akkor ugyanahhoz a határhelyzethez jut, s hogy a különböző irányokban «végtelenbe távozott» pontok nem kört, hanem egyenest alkotnak. Jobb tehát, ha lemondunk arról, hogy az újonnan bevezetett pontoknak és egyeneseknek ilyesfajta szemléletes jelentést adjunk. Jobbnak mondhatjuk ezért az ideális pont és ideális egyenes elnevezéseket, mert a «végtelen távoli» jelző zavaros gondolatokra csábíthat. ”

Hajós György tanácsát mi is követhetnénk a kételemű számok esetében, de én szívesebben játszom el a „végtelen távoli” jelzővel. Ha az ember ismeri a veszélyt, akkor csökken a tévedés kockázata. A kételemű számokhoz eleve azzal a „szentségtörő” gondolattal jutottam el, hogy helyiértékes alakban ábrázoltam a „valós végtelent”. Akkor lesz hasznos tudni, hogy a kételemű számok valamilyen módon kapcsolódnak a végtelen szám ábrázolásához, amikor a fizikai felhasználhatóságukról lesz szó. Már most is felhozható példaként az, hogy akármilyen nagy sugara van egy görbült felületnek – gömbnek, hiperboloidnak – akkor is felismerhető a felület görbületének típusa a felület akármilyen kicsiny felületdarabkáján a háromszögek szögösszegének tulajdonságából. Ugyanezt tapasztaljuk a kételemű számok háromszög-egyenlőtlenségénél, pontosabban a számsíkokon bevezetett abszolút-érték tulajdonságán. Természetesen az analógiákat valóban óvatosan kell kezelni, és csak ötletadásra kell őket használni, nem arra, hogy minden tulajdonságot azonosnak gondolok az analógia alanyában és tárgyában.

_____________________________________

¹  A ...999-es számmal és a 0,999... = 1 egyenlőséggel kapcsolatos gondolatok, viták, bizonyítások egy tűrhető leírása megtalálható a Wikipédián.

² A szakirodalomban sok elnevezést használnak rá. A fenti megnevezésen kívül a legelterjedtebb a perplex számok elnevezés.

³ A szakirodalomban ezeknek a számoknak is több elnevezésével találkoztam, gyakori például a duális számok elnevezés.

A kételemű számokat a 70-es évek második felében fedeztem fel magamnak. Ekkor még nehéz volt információt szereznem, mert nem volt internet. Az egyetemen beszéltem róla, és kaptam egy anyagot a Cayley és a Clifford számokról. A kételemű számok azonban olyan egyszerűek, és nagyszerűek voltak, mint a komplex számok.  Egyébként az egyikük épp a komplex szám-rendszer volt, másikukat hiperbolikus számoknak neveztem, mivel szorzatuk geometriája a Lorentz transzformációt, azaz a hiperbolikus forgatást adta, a harmadik, legegyszerűbb formájuk - melyeket parabolikusnak neveztem - szorzatban egy egyenes menti eltolást adott, tehát egy speciális parabola menti mozgást. Így a háromféle szám-síkon a térbeli mozgások három lényeges formáját kaptam meg a számok összeszorzása során: eltolást, forgatást, és hiperbolikus forgatást, azaz a Lorentz transzformációt. Ráadásul ezek a mozgások mind egy speciális másodfokú görbe mentén történő eltolások voltak. Másodfokú, azaz kételemű számok, és másodfokú görbék. Annak idején a háromelemű számokkal is foglalkoztam, és találtam is egy olyan definíciót számhármasra, melyek három dimenziós terében a szorzás egy speciális felület, az x³+y³+z³-3xyz=r³ menti mozgás volt. Sajnos a fizikai ismereteim elégtelenek voltak arra, hogy ezek alkalmazhatóságát el tudtam volna dönteni. A matematikájuk azonban tetszett, mégsem foglalkoztam sokat velük, mert a kételeműek elcsábítottak.

A számok első - még írógéppel írt - elég kezdetleges összefoglalását beszkennelve a következő szövegre kattintva PDF formátumban elérhető: Ketelemu_history.pdf.

Akkoriban beszéltem még KK-val is a számaimról, ő algebrista lévén azt tanácsolta, hogy foglalkozzak félcsoportokkal, mert a három számsík közül kettő ideált is tartalmazó félcsoport. Engem azonban jobban izgatott a számok geometriai tulajdonsága, illetve halmazelméleti kapcsolata. A számok érdekessége, hogy nem valós egységelemükkel, mint görbülettel számolva, a kapott felületek egyikén az euklideszi geometria, másikon a gömbi geometria, a harmadikon pedig a hiperbolikus geometria érvényesül. Ez is egy nagyon korai anyagomban szerepel, ma átírtam szövegszerkesztővel, és megtalálható a „Kételemű számok és a geometria” cikkemben.

Amikor rátaláltam ezekre a számokra, egyszerűen nem értettem, hogy miért nincs irodalmuk. Még a szegényes szakirodalmi ismereteim alapján is megállapíthattam, hogy - a komplex számok kivételével - nem lehetnek nagyon ismertek, mert nagyszerűségük, felhasználhatóságuk biztosan gyorsan ismertté tette volna őket. Azt tudtam, hogy Feynman a Mai fizika című könyvében még biztosan nem ismerte a hiperbolikus számokat, mert a Lorentz transzformáció leírásakor nemcsak nem említi, de még meg is jegyzi, hogy a transzformáció érdekes módon hasonlít egy forgatáshoz, de nem az.

Hosszú évekig dédelgettem ezekkel a számokkal kapcsolatos gondolataimat. Hol elővettem őket, hol idő hiányában félre tettem. Tavaly - most már nyugdíjasként - ismét elkezdtem foglalkozni velük, és a tulajdonságaikat összefoglaltam a „Kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása" című írásomban.

A Cornell Egyetem könyvtárában - http://arxiv.org/ - ráleltem két olasz fizikus, F. és V. Catoni, valamint szerzőtársaik több cikkére, ahol végre szerepelnek a hiperbolikus számok, mint a relativitás elmélet leírására legalkalmasabb matematikai eszközök. A következő szövegekre kattintva PDF formátumban elérhető a fizikusok két cikke: 0508011v1.pdf, és 0509161v1.pdf, melyek a fent említett http://arxiv.org/ helyről származnak. Azóta már több szerzőtől olvastam a hiperbolikus, vagy más néven perplex számokról, sőt a parabolikus számokról is, melyeket általában duális számoknak nevez az irodalom.

Az igazán izgalmas rész azonban még hátra van. Eddig úgy alkalmaztam - mintegy mechanikusan - a kételemű számokat, amint a komplex számokat használjuk a kvantumfizikában. Ahol szintén úgy alkalmazzák a komplex valószínűségi változókat, hogy értelmét nem ismerik, csak azt, hogy ez a fajta számítási módszer működik. Az a mód, ahogy ráleltem ezekre a számokra, az valami egészen újszerű megvilágításba helyezi a komplex számokat is, és minden olyan fizikai jelenséget, amelyek leírásánál kételemű számot használunk, például a tér és az idő viszonya fantasztikus megvilágításba kerül. Erről egy másik cikkben írok.

Tartalom: Pusztítva teremtés, a bonyolultság növekedése, információváltozások mikro és macro szinten, az információelmélet hiányosságai, a környezet hatása, a hálózatok matematikája.

A cikk teljes szövege PDF fájlban itt található. A fájl 2011. november 20-án lett frissítve.